AG Lie-Gruppen: M. Ludwig, FAU: Ein diagrammatischer Kalkül für ungetwistete Dijkgraaf-Witten Modelle mit Defekten

Ein diagrammatischer
Kalkül für ungetwistete Dijkgraaf-Witten Modelle mit Defekten – Vortragender: Maximilian Ludwig, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg – Einladende: Catherine Meusburger

Abstract:
In dem Vortrag stelle ich Ergebnisse aus meiner Masterarbeit vor. Diese ist
thematisch in den Bereich der topologischen Quantenfeldtheorien (TQFT)
einzuordnen. Wir betrachten (ungetwistete) Dijkgraaf-Witten Theorie mit
Defekten, welche als ein Spezialfall der Turaev-Viro-Barrett-Westbury (TVBW)
TQFT mit Defekten betrachtet werden kann. Letztere ist eine Verallgemeinerung
der TVBW TQFT ohne Defekte und wurde von Turaev, Viro und Barrett, Westbury als
Zustandssummenmodel für 3-MFKen eingeführt. Diese verwendet als algebraisches
Datum eine sphärische Fusionskategorie C.

C.Meusburger verallgemeinerte diese zu dem Fall mit Defekten, wobei Defektflächen
durch eingebettete 2d MFKen und Defektlinien und Defektpunkte durch
eingebettete Graphen in der Defektfläche realisiert werden. Defektdaten werden
jeweils zu 3d Regionen, 2d Defektbereichen, 1d Defektlinien und 0d
Defektpunkten zugeordnet. Diese sind systematisch durch sphärische
Fusionskategorien C,D, (C,D)-Bimodulkategorien mit Bimodulspuren,
(C,D)-Bimodulfunktoren und (C,D)-bimodulnatürliche Transformationen gegeben und
formen für feste C,D eine pivotale 2-Kategorie Bimodθ(C,D). Die Zustandssumme für
Defekt-3-MFKen wird mit Hilfe eines 2d diagrammatischen Kalküls für Bimodθ(C,D)
definiert, der an die betrachteten Defekte angepasst ist.

Ungetwistete
Dijkgraaf-Witten Theorie mit Defekten ist der Spezialfall, dass alle
sphärischen Fusionskategorien C,D Kategorien VecG von G-graduierten
endlichdimensionalen C-Vektorräumen für endliche Gruppen G sind und dass alle
Kozykeln, die als Teil der Defekt-Daten auftreten können, trivial sind. Dies
führt dazu, dass wir für die Defekt-Daten nur eine pivotale Unter-2-Kategorie
Bimodθtriv(C,D)
⊂ Bimodθ(C,D) betrachten. In diesem
Fall vereinfachen sich alle Defekt-Daten und bilden ebenfalls eine pivotale
Bikategorie Rep(G × Hop−Set). Das erste Resultat ist, dass die pivotalen
Bikategorien Bimodθtriv(C,D)
und Rep(G × Hop−Set) pivotal 2-äquivalent sind. Darauf aufbauend habe ich einen
vereinfachten diagrammatischen Kalkül für Rep(G × Hop−Set) entwickelt und
gezeigt, dass dieser äquivalent zu dem diagrammatischen Kalkül für Bimodθtriv(C,D)
ist. Abschließend habe ich noch Beispiele für Defekt-3-MFKen betrachten, die
aus Flächen vom Geschlecht g entstehen, und deren Zustandssumme berechnet.